\section{Introdução}
 
XY-VBEG é um simples modelo de rede definido na Seção \ref{sec:he} (Eq. \ref{eq:hamiltoniano1} ) na qual   foi apresentado seu hamiltoniano
\begin{equation}
H = -J\sum_{\langle i,j\rangle}[S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}] - 
K \sum_{\langle i,j\rangle } S_{i}^{2}S_{j}^{2} + \Delta\sum_{i}(S_{i})^{2}.
\label{ham} 
\end{equation}


Nesta seção,  $\vec{S_i}$ é um spin clássico tridimensional,  
$\vec{S_i}=(S^x_i,S^y_i,S^z_i)$ com $S_i^2=(S^x_i)^2+(S^y_i)^2+(S^z_i)^2=1$. O primeiro e o segundo somatório são realizados sobre todos os pares de vizinhos mais próximos. Como visto, o primeiro somatório contribui para a superfluidez, o segundo surge do modelo fenomenológico para a energia de interação entre pares de hélio do mesmo tipo ou de tipos diferente. O parâmetro $\Delta$ é essencialmente a diferença de potencial químico $\mu_3-\mu_4$ de $^3$He e $^4$He respectivamente. 

No modelo,  cada sítio $ i $ da rede está associado a uma variável $XY$ do magnetismo clássico cujo ângulo faz analogia a fase do parâmetro de ordem complexo $\Psi$, que é a média operador de criação do conjunto do bóson de átomo de hélio.

Uma vez que o modelo não permite sítios desocupados, ele não apresenta uma fase vapor. Este modelo pode ser generalizado para incorporar a fase de vapor, neste trabalho foi ignorada por razões de simplicidade. 

Para estudar as características do modelo utilizou-se um algoritmo de Gás-de-Rede (G) que contribui para separação de fase do modelo, combinado com algoritmo reorientação de Spin Metropolis (M), uma versão não-ergódica do algoritmo de Wolff (W) ~\cite{wolff1989collective,newman1999monte} um algoritmo de super-relaxação (S) a energia configuracional constante \cite{creutz1987overrelaxation,pawig1998monte} que são responsáveis pela simulação da ordem magnética de longo alcance que corresponde à superfluidez. Cada algoritmo é simulado sobre toda a rede e combinados usando um método Monte Carlo híbrido \cite{plascak2002cluster} a fim de reduzir na simulação as correlações entre as configurações sucessivas. Assim, um passo de Monte Carlo (MCs) é definido como a sequências dos algoritmos na seguinte configuração: G M G W G S.

Da simulação, diferentes quantidades termodinâmicas foram obtidas. Um resumo dessas estão apresentadas abaixo. 
 
A energia interna por sitio é definida por
%
\begin{equation}
e =\frac{\langle E\rangle}{N},
\label{ei}
\end{equation}
% 
onde $N=L^2$ é o número de sítios da rede. $E$ é a energia total do sistema. A média de Monte Carlo $\langle Q\rangle$ de uma quantidade termodinâmica qualquer é dada por
\begin{equation}
\langle Q\rangle=\frac{1}{MCs}\sum_{j=1}^{MCs}Q_j,
\label{mag}
\end{equation}
%
a susceptibilidade magnética no plano foi calculada como a média do quadrado da magnetização no plano
\begin{equation}
\chi_{xy} =\frac{1}{N} \langle \sum_{i}^{N}[(S_{i}^{x})^{2}+(S_{i}^{y})^{2}] \rangle,
\label{chi}
\end{equation}
a concentração de partículas de $^3He$ (não-magnéticas) ~($x_3$) 
%
\begin{equation}
x_{3}=\frac{1}{L^{2}}\sum_{i}^{L^{2}}[1-S^{2}_{i}],
\label{x3}
\end{equation}
%
onde $L$ é o tamanho linear do sistema na rede triangular estudada. O sistema foi simulado com 
$1\times 10^3$ MCS para atingir o equilíbrio e a média foi calculada com $1\times 10^5$ MCS. As redes variaram de $L=16$ a $L=512$. Pela análise da Onda-de-Spin em um sistema com $N$ spin a baixa temperatura, obtêm-se uma relação entre a magnetização e o número de sítios na rede que é expressa por
\begin{equation}
M_{xy}=\frac{1}{N}\sum_{i}^{N}[(S_{i}^{x})^{2}+(S_{i}^{y})^{2}]^{\frac{1}{2}} \simeq (\frac{1}{2L^2})^{T/8\pi}.
\label{mag}
\end{equation}
% 
Como foi visto na Seção \ref{sec:transicao}, na transição de fase, a susceptibilidade no plano diverge exponencialmente como a temperatura Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT)  segundo a equação
%
\begin{equation}
\chi\sim ae^{b(T-T_{BKT})^{-\nu}},~~~T\rightarrow T^+_{BKT},
\label{schiT}
\end{equation}
%
e permanece infinita para  $T\le T_{BKT}$ de tal forma que toda uma linha de pontos críticos aparece no diagrama de fases. Na equação acima $a$ e $b$ são constantes. Por outro lado, para sistemas de tamanho linear $L$ finitos, é predito que a susceptibilidade em $T_{BKT}$ comporta-se de acordo com a equação
%
\begin{equation}
\chi=c~L^{2-\eta}(ln(L))^{-2r}\lbrace 1+ \Theta(\frac{ln ln L}{ln L})\rbrace,
\label{schiL}
\end{equation}
%
%onde $\eta$ corresponde o expoente da função de correlação e na temperatura de transição, os valores teóricos dos expoentes são  $\eta(T_{BKT})=1/4$ e $r= -1/6$ \cite{kosterlitz1974critical}, por simulação Monte Carlo foi obtido um valor de $r=0.027$ \cite{PhysRevB.55.3580}. 

Estas quantidades foram estudadas a fim de obter o completo diagrama de transição de fase como também, verificar se todas as características das transições BKT estão preservadas em todos os pontos do diagrama de fase. O resultado destas, bem como suas discussões estão apresentados na próxima seção. 

A simulação foi realizada numa rede triangular com o intuito de comparar com os resultados de Berker e Nelson, e numa rede quadrada aproximando do trabalho de Cardy e Scalapino. Na rede quadrada, analisou-se as propriedades do sistema  para diferentes valores do \mbox{parâmetro $K$}. 


\section{Rede triangular}  
 
\subsection{Susceptibilidade magnética}
 
O comportamento característico do XY-VBEG está ilustrado na Figura \ref{fig1} na qual se observa a susceptibilidade como função da temperatura para diferentes valores de tamanho de rede $L$ e potencial químico reduzido $d=\Delta/J$. Nota-se que para altas temperaturas a susceptibilidade independe do tamanho da rede $L$. Para baixas temperaturas, por outro lado,  o sistema independe de $d$ para um dado valor do tamanho $L$. O comportamento que é dependente simultaneamente de $d$ e $L$ somente aparece próximo da transição BKT.

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig1.jpg}
\end{center}
\caption{Logaritmo da susceptibilidade como função da temperatura para diferentes tamanhos de redes $L$ e  de potencial químico reduzido $d=\Delta/J$. As linhas cheias são guias para os olhos.}
\label{fig1}
\end{figure}

Para encontrar a temperatura de transição BKT, foi realizado um ajuste dos pontos da susceptibilidade para $T>T_{BKT}$ utilizando a Equação (\ref{schiT}). Um exemplo está apresentado na Figura \ref{fig2} para diferentes valores do campo $d$. Os pontos utilizados nesse ajuste são a média dos valore obtidos em diferentes tamanhos de redes, contudo nas vizinhanças de $T_{BKT}$ a média é somente sobre as redes maiores de forma a minimizar o desvio padrão da média, bem como, minimizar o erro da regressão não-linear ($\chi^2/doF$). Neste trabalho foi utilizada a técnica de regressão não-linear baseada no algoritmo de Levenberg-Marquardt \cite{more1978levenberg}, implementado na  biblioteca matemática livre Muparser   disponível no programa Qtiplot.
%
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig2.jpg}
\end{center}
\caption{Ajuste do logaritmo da susceptibilidade com função da temperatura de acordo com a Equação (\ref{schiT}) para diferentes valores do potencial químico reduzido $d=\Delta/J$. A linha cheia é o melhor ajuste BKT.}
\label{fig2}
\end{figure}
%

Apesar do ajuste da curva de susceptibilidade fornecer um valor preciso para a temperatura $T_{BKT}$ no sistema puro, para o VBEG (Figura \ref{fig2}) a Equação (\ref{schiT}) não se ajusta tão bem aos pontos da susceptibilidade para alguns valores de $d$. Isso ocorre porque próximo da região do ponto crítico terminal a concentração de $^3$He muda rapidamente com a temperatura  para $T>T_{BKT}$, como pode ser observado na Figura \ref{fig3}. Esse comportamento interfere na curva da susceptibilidade para temperaturas $T> T_{KBT}$, e por isso é necessário recorrer a outra técnica para estimar a temperatura de transição $\lambda$. Um técnica muito utilizada \cite{sun2009thermodynamic} parte da Equação \ref{schiL}  para encontrar a temperatura BKT pelo ponto de cruzamento das curvas de $\chi/(L^{2-\eta}*ln(L)^{-2r})  \times T$ para diferentes  tamanho rede $L$. Assim é necessário apenas pontos em $T \sim T_{KBT}$. Como exemplo, observa-se na Figura \ref{fig4} o gráfico de $\chi/(L^{47}ln(L)^{-2r}) \times T$ para $d=-2$ considerando $r=0$.
%
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig3.jpg}
\end{center}
\caption{ Concentração de $^3$He como função da temperatura para diferentes valores do potencial químico reduzido $d=\Delta/J$. A linha cheia é uma guia para os olhos.}
\label{fig3}
\end{figure}
%
Há uma ligeira diferença entre os valores  de $T_{BKT}$ obtidos pelas duas técnicas, sendo também dependes do valor do expoente $r$ utilizado.  Na Tabela \ref{TBKT} estão apresentados os valores de $T_{BKT}$ encontrados pelas duas técnicas, considerando três diferentes valores para o expoente $r=0$, $r=1/8$ e $r= 0,027$. Pode se observar que os resultados das duas técnicas ficam mais próximos quando se admite $r=0.027$, apesar de o erro ser maior quando se utiliza a Equação (\ref{schiL}), esta é mais eficiente para determinar a temperatura da transição BKT próximo da ponto crítico terminal. É importante frisar que apresar do sistema apresentar diluição, há trabalhos que mostram que a diluição não altera os expoentes críticos \cite{sun2010berezinskii, berche2009influence} e por isso utilizou-se os mesmos expoente para o diferentes valore de $d$.

A Figura \ref{fig4} ilustra  a diferença entre a curva de susceptibilidade obtida da simulação e a esperada na Transição BKT obtida fixando a temperatura BKT encontrada pelo segundo método e ajustando os outros parâmetros num intervalo de forma que o erro do ajuste seja o menor possível.  

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig4.jpg}
\end{center}
\caption{Curvas de $\chi/L^{2-\eta} \times T$ para diferentes valores de rede, e $d=2$ }
\label{fig4}
\end{figure}


\begin{table}[H]%[htb]
\caption{Temperatura de transição BKT para diferentes valores do campo $d$, método e  expoente $r$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{d} & \textbf{M1} & $r=0$ & $r=0,027$ & $r= 1/16$ \\ \hline
-3 & 1,1182(8) & 1,1248(28) & 1,1180(25) & 1,1072(20) \\ \hline
-2 & 1,1178(7) & 1,1275(30) & 1,1178(20) & 1,1033(27) \\ \hline
-1 & 1,1155(10) & 1,1272(10) & 1,1125(55) & 1,1062(62) \\ \hline
2 & 1,0966(9) & 1,1151(12) & 1,1081(35) & 1,1001(35) \\ \hline
3,2 & 1,0556(27) & 1.0901(30) & 1,0814(40) & 1,0674(45) \\ \hline
3,45 & --- & 1,078(1) & 1,0739(10) & 1,0623(18) \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{TBKT}
\end{table}


\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 12cm]{figuras/ultrafino/fig5.jpg}
\end{center}
\caption{Susceptibilidade magnética no plano como função de $T$ para diferentes valores de $L$. Os pontos são os resultados da simulação e a linha tracejada é o melhor ajuste da Equação (\ref{schiT}) fixando a temperatura $T_{BKT}$ no resultado para diferentes valore do campo $d$}
\label{fig5}
\end{figure}


\begin{figure}[H]%[htb]\ref{quadrada1}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig6.jpg}
\end{center}
\caption{Curvas de $\chi/L^{2-\eta} \times T$ para diferentes valores de rede, e $d=3.55$ incrementando e decrementando a temperatura. Os pontos são resultado da simulação e as linhas são guias para os olhos.}
\label{fig6}
\end{figure}

Na Figura \ref{fig6} observa-se que além do cruzamento das curvas devido à transição BKT, há também uma histerese indicando um ponto de transição de primeira ordem. A presença de uma transição BKT e uma transição de primeira ordem indica a proximidade da curva ao ponto crítico terminal onde a linha de transição BKT é truncada pela linha de primeira ordem.

\subsection{Magnetização}

Uma característica da transição BKT em sistemas finitos é a magnetização \cite{PhysRevB.49.8811}, embora não haja quebra de simetria no modelo XY 2D a função de correlação decai muito lentamente com a distância, o que garante uma magnetização mensurável em sistemas finitos. Esta magnetização apresenta um aparente expoente crítico universal $\beta=0.23$ observáveis experimentalmente em diferentes materiais magnéticos que se assemelham ao modelo XY \cite{bramwell1993magnetization}.  A magnetização também determina uma temperatura de Curie efetiva do sistema finito $T_c(L)$ que tende para $T_{BKT}$ quando $L\rightarrow\infty$ seguindo a lei logarítmica
%
\begin{equation}
T_{c}(L)\approx T_{BKT} + \frac{\pi^2}{4c(\ln L)^2}.
\label{tcmag}
\end{equation}

A magnetização foi estudada neste modelo não com a finalidade de comparar com alguma quantidade mensurável do problema de misturas de \hetq, mas investigou-se o expoente crítico $\beta$ e a temperatura $T_c$,  a fim de verificar se todas as propriedades da transição BKT foram conservadas mesmo diante da existência de impurezas de $^3$He na transição. A curva da magnetização e os expoentes críticos estão ilustrado na Figura \ref{fig7}. O expoente $\beta$ se mostrou independente do tamanho da rede e do campo $d$, o ajuste dos pontos $T_c(L)$ está apresentado na Figura \ref{fig8}. A temperatura $T_{BKT}$ obtida da magnetização não se aproximou muito da encontrada por outros métodos devido à dificuldade de se encontrar com exatidão a temperatura  $T_c(L)$ e também porque os tamanhos de redes utilizados foram pequenos para a aproximação utilizada. Também a Eq. (\ref{tcmag}) tem validade garantida pela teoria de grupo de renormalização somente para temperaturas muito próxima da temperatura BKT \cite{chung1999essential} o que só pode ser alcançada com redes acima de L=1024. 

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig7.jpg}
\end{center}
\caption{Magnetização no plano como função da temperatura para diferentes tamanhos de rede e campo $d=-2$, onde os pontos são o resultados da simulação,  a linha tracejada é um ajuste de uma lei de potência e a linha cheia é o resultado exato da Equação (\ref{mag}).}
\label{fig7}
\end{figure}

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig8.jpg}
\end{center}
\caption{Curva da temperatura crítica $T(L)\times L$,  onde os pontos são o resultado do ajuste na magnetização e a linha tracejada é o resultado do ajuste utilizando a Equação (\ref{tcmag}) em dois intervalos diferentes.}
\label{fig8}
\end{figure}

%\subsection{Concentração de \het}

Para obter a linha de transição de primeira ordem foi utilizada a histerese observada na curva de susceptibilidade e na concentração de $^3$He. Nesse caso, a histerese, independe do tamanho da rede para as redes maiores que $L=36$ como pode ser observado na Figura \ref{fig9}. Contudo, a histerese fica mais larga com a redução da temperatura, tornando a precisão muito pequena. Dessa forma foi utilizada, nas proximidades do ponto crítico terminal e no ponto crítico simples, a densidade de probabilidade da concentração de \het e da energia para localizar com melhor precisão a linha de primeira ordem.

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/fig9.jpg}
\end{center}
\caption{Curva de histerese da concentração de $^3$He como função do campo para diferentes tamanhos de Rede. Os pontos são resultado da simulação e a linha é guia para os olhos.}
\label{fig9}
\end{figure}

\subsection{Distribuição de probabilidade da concentração de \het}
%distribuição de probabilidade para difentes valores de tc 

\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/vt.jpg}
\end{center}

\caption{Distribuição de probabilidades da concentração de \het para diferentes temperatura e $L=16$. }
\label{fig9.2}
\end{figure}

Na Figura \ref{fig9.2} está apresentado a distribuição de concentração de \het para $L=20$ em diferentes temperaturas sob a linha de transição de primeira ordem. Pode-se observar que com o aumento da temperatura os dois picos se aproximam e desaparecem. A presença de dois picos para rede $L=20$ não representa a existência de um ponto de transição de primeira ordem como pode ser observado na Figura \ref{fig:d1} onde mesmo existindo dois picos para $T=1.2$ na rede $L=20$ o mesmo não acontece para rede $L=40$ indicado que o ponto crítico isolado encontra-se abaixo dessa temperatura. Já na Figura \ref{fig:d2}  os dois picos existem para as redes simuladas e a tendência é que para redes maiores eles fiquem ainda mais definidos indicando que o ponto crítico isolado se encontra há uma temperatura acima de $T=1.16$

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center} 
\mbox{
\subfigure[Distribuição de probabilidades em $T=1.2$ \label{fig:d1} ]{\includegraphics[height=60mm, width=6.0cm]{figuras/ultrafino/Graph2.png}}
\hspace{1.5cm}
\quad\subfigure[Distribuição de probabilidades em $T=1.16$\label{fig:d2}]{\includegraphics[height=60mm,width=6.0cm]{figuras/ultrafino/Graph3.png}}
}
\caption {Distribuição de probabilidades da concentração de \het para as redes $L=20$, $L=30$ e $L=40$}
\end{center}
\end{figure}
% 
%\begin{figure}[H]%[htb]
%\begin{center}
%\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/vl.jpg}
%\end{center}
%\caption{Distribuição de probabilidades da concentração de \het para $T=1,2$ e  $L=16$, $L=32$ e $L=64$. }
%\label{fig9}
%\end{figure}
%


\subsection{Diagrama de transição de fase} 

O diagrama de fase global foi então obtido e está apresentado na Figura \ref{diag} no plano temperatura versus campo cristalino. Na Figura \ref{diagc} está apresentado o diagrama de coexistência no plano temperatura versus concentração de $^3$He.  O ponto crítico terminal está localizado  $T_{CEP}=1,064(3)$ e $d_{CEP}=3,610(5)$ com o ponto crítico simples em $T_{CP}=1,18(2)$ e $d_{CP}=3,45(2)$. Embora o presente modelo seja ligeiramente diferente do original proposto por Berker e Nelson, os valores da correspondente são bastante comparáveis, a saber $T_{CEP}=0,9895$ and $T_{CP}=1,2159$. Em $x_3=0$ a presente temperatura é $T_{BKT}=1,1182(7)$ e para o modelo rotor planar é $T_{BKT}=1,029$. 
%
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 12cm]{figuras/ultrafino/fig10.jpg}
\end{center}

\caption{Diagrama de fase no plano temperatura vs. campo cristalino reduzido para o modelo com $K=J$. Os círculos cheios indicam a transição BKT e os abertos indicam a transição de primeira ordem. O triangulo cheio e o quadrado representa o ponto crítico simples e o ponto crítico terminal, respectivamente. A inserção mostra em detalhe a região próxima ao pontos crítico, onde há uma aparente continuação analítica da transição BKT.}
\label{diag}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 12cm]{figuras/ultrafino/fig11.jpg}
\end{center}

\caption{Diagrama de coexistência no plano da temperatura versus concentração para o modelo com $K=J$. Os círculos cheios indicam a transição e os círculos abertos indicam o limite de coexistência do superfluido e $^3$He fluido normal, bem como  a transição $^4$He e $^3$He liquido normal (as linhas são apenas guia para os olhos). O triângulo cheio e o quadrado cheio representam, respectivamente, o ponto crítico simples e o ponto crítico terminal para o modelo XY VBEG. A linha pontilhada mostra o resultado obtido por Berker e Nelson para o modelo rotor planar (PR).}
\label{diagc}
\end{figure}
%
\section{Rede quadrada}

Nesta seção serão apresentados os resultados utilizando as mesmas configurações da seção anterior para uma rede quadrada, com o objetivo de analisar diferenças no diagrama de fase, bem como, explorar o diagrama de fase para outros valores de $K$ visto a maior simplicidade dessa rede como também pelo maior número de referências para ela. 

Na Figura \ref{quadrada1} observa-se a curva de  $\chi/L^{2-\eta}(\ln L)^{-2r} \times T $ para o campo $d=-4$ que é quase equivalente ao modelo XY puro. Pelo cruzamento das curvas pode-se obter a temperatura BKT do sistema. A Figura \ref{quadrada1} apresenta dois conjuntos de curvas: um usando correção de escala logarítmica com $r=0,27$, e outro sem correção. O expoente $r= 0,27$ foi escolhido devido a referência \cite{PhysRevB.55.3580} e usando este expoente encontrou-se $T_{BKT}=0,694(2)$ que está bem próximo do valor $T_{BKT}=0,695(1)$ obtido na referência \cite{PhysRevB.52.10221}. Sem correção de escala foi obtido $T_{BKT}=0,701(2)$ que se aproxima do valor $T_{BKT}=0,700(5)$, encontrado na referência \cite{evertz1996critical} que também não utilizou correção de escala. Apesar da diferença na temperatura devido a escala no sistema puro, esta diferença diminui significativamente nas vizinhanças do ponto crítico terminal que é a região de maior interesse.   

  
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/quadrado/Graph3.jpg}
\end{center}
\caption{Curva de $\chi/L^{2-\eta}(\ln L)^{-2r} \times T $ para $d=-4$ e diferentes tamanhos de rede.  Considerando correção de escala com $r=0,27$ e sem correção de escala, ou seja, $r=0$}
\label{quadrada1}
\end{figure}

Como era esperado, o diagrama de fase para a rede quadrada (Figura \ref{fig:diagramaquadrada} )  é semelhante  ao obtido para rede triangular, apresentando um ponto crítico terminal localizado em $T_{CEP}=0,661(2)$ e $d_{CEP}=2,491(5)$ e um ponto crítico simples em $T_{CP}=0,69(1)$ e $d_{CP}=2,44(2)$.


%\subsection{Magnetização e susceptibilidade magnética}
%
%\subsection{Concentração de \het.}  
%
%\subsection{Energia e Calor específico}
%
%\subsection{Diagrama de transição fase}
%
\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/quadrado/k1quadara.png}
\end{center}
\caption{Diagrama de fase no plano temperatura vs. campo cristalino reduzido para o modelo com $K=J$ numa rede quadrada. Os círculos cheios indicam BKT transição e os abertos indicam a transição de primeira ordem. O triangulo cheio e o quadrado representam o ponto crítico simples e o ponto crítico terminal, respectivamente. }
\label{fig:diagramaquadrada}
\end{figure}
%

Na Figura \ref{fig:bc} está apresentado o diagrama de transição de fase do modelo VBEG para $K=0$ no plano $T \times d$. Nesta configuração o modelo se iguala ao modelo de Blume-Capel. Da observação dessa figura inferi-se a existência de um ponto tricrítico localizado em $T=0,401(2)$ $d=0,810(2)$. Entretanto, Berker e Nelson em seu trabalho não conseguiu localizar um ponto tricrítico fixo supondo a existência de ponto crítico simples e um ponto crítico terminal muito próximos. 


%%Como pode ser observado, a localização do ponto critico terminal e do ponto crítico isolado muda dependendo da rede 
%%a relação entre o ponto critico termonial e o ponto tempetratura no sistema puro uma media experimentalmente acessível. 
%
%%
%\begin{figure}[htb]
%\begin{center}
%\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/quadrado/fig2.jpg}
%\end{center}
%\caption{Diagrama de coexistência no plano da temperatura versus concentração para o modelo com $K=J$. Os círculos cheios indicam a transição e os círculos abertos indicam o limite de coexistência do superfluido e $^3$He fluido normal, bem como  a transição $^4$He e $^3$He liquido normal (as linhas são apenas guia para os olhos). O triângulo cheio e o quadrado cheio representam, respectivamente, o ponto crítico simples e o ponto crítico terminal para o modelo XY VBEG. A linha pontilhada mostra o resultado obtido por Berker e Nelson para o modelo rotor planar (PR).}
%\label{diagc}
%\end{figure}


\begin{figure}[H]%[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figuras/ultrafino/quadrado/bc.png}
\end{center}
\caption{Diagrama de fase no plano temperatura vs. campo cristalino reduzido para o modelo com $K=0$ numa rede quadrada. Os círculos cheios indicam BKT transição e os abertos indicam a transição de primeira ordem.}
\label{fig:bc}
\end{figure}


